（2009•青浦区二模）如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC边上一点，且AD⊥AB，点E是线段BD的中点，连接AE
1个回答
解题思路：（1）由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半知，AE=BE=[1/2]BD，故∠B=∠BAE，由三角形的外角与内角的关系知，AEC=2∠B，又由已知条件，∠C=2∠B，所以∠C=∠AEC而求得AE=AC=[1/2]BD；
（2）由AC2=DC•BC可得△ACD∽△BCA，所以∠CAD=∠B=∠BAE，再由等量加等量还是等量知，∠CAD+∠EAD=90°即∠EAC=90°．
（1）证明：由AD⊥AB得∠BAD=90°，（1分）
∵点E是BD的中点，
∴AE=[1/2]BD=BE，
即BD=2AE，
∵AE=BE，∴∠B=∠BAE，（2分）
∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=2∠B，
又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C，
∴AE=AC，（2分）
∵BD=2AE，
∴BD=2AC；（1分）
（2）∵AC2=DC•BC，
∴[AC/DC＝
BC
AC]，（1分）
又∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA．（1分）
∴∠CAD=∠B，∴∠CAD=∠BAE，（2分）
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠CAD+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
又∵AE=AC，
∴△AEC是等腰直角三角形．（2分）
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线．
考点点评： 本题利用了直角三角形的性质，三角形外角与内角的关系，等边对等角和等角对等边，相似三角形的判定和性质求解．
相关问题
