设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为前n项和，满足a3，2a5，a12 成等差数列，S10=60．
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解题思路：（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的性质，先求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）利用数列{an}的通项公式对
a
m+1
2
+2
a
m
进行化简整理，再由
a
m+1
2
+2
a
m
为数列{an}中的项进行分析求解，利用列举法能求出所有正整数m．
（1）设数列{an}首项为a1，公差为d，
则a3+a12=a1+2d+a 1+11d=2a1+13d，（2分）
2a5=2（a1+4d）=2a1+8d，
∵a3，2a5，a12成等差数列，
∴a3+a12=2×2a5，
∴2a1+13d=2（2a1+8d），
整理，得2a1+3d=0，（4分）
∵S10=60，∴S10=10a1+
10×9
2d=10a1+45d=60，
解得a1=-3，d=2，
∴an=2n-5，
Sn=n×(-3)+
n(n-1)
2×2=n2-4n．（7分）
（2）∵an=2n-5，
∴
am+12+2
am=
(2m-3)2+2
2m-5
=
[(2m-5)+2]2+2
2m-5
=
(2m-5)2+4(2m-5)+6
2m-5
=2m-5+4+[6/2m-5]
=2m-1+
6
2m-5，（10分）
要使
am+12+2
am为数列{an}中的项，则[6/2m-5]为整数．
m=1，2m-1+
6
2m-5=-5是第二项，
m=2，2m-1+
6
2m-5=-3=2×1-5是第一项，
m=3，2m-1+
6
2m-5=11=2×8-5是第八项，
m=4，2m-1+
6
2m-5=2×7-5是第七项
所有的正整数m为1，2，3，4．（14分）
点评：
本题考点： 数列的求和．
考点点评： 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等差中项等知识点的应用，解题时要注意合理地进行化简整理，注意列举法的合理运用．
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