这是比较难的题目

这是比较难的题目

收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
1个回答

（1）设F(x)=f(x)/x,G(x)=1/x；则

F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²,G'(x)=-1/x²

由柯西中值定理

[F(b)-F(a)]/[G(b)-G(a)]=F'(ξ)/G'(ξ)

可得

[f(b)/b-f(a)/a]/[1/b-1/a]={[ξf'(ξ)-f(ξ)]/ξ²}/(-1/ξ²)

即 [f(b)/b-f(a)/a]/[1/b-1/a]=-[ξf'(ξ)-f(ξ)]

即 [af(b)-bf(a)]/(a-b)=-[ξf'(ξ)-f(ξ)]

即 [af(b)-bf(a)]/(b-a)=ξf'(ξ)-f(ξ)

得证

（2）在区间(0,1)上,有f(0)=0,f(1)=1

应用第(1)题的结果,存在α∈(0,1),使得

f'(α)={[af(b)-bf(a)]/(b-a)+f(α)}/α

={[0*f(1)-1*f(0)]/(1-0)+f(α)}/α

={0+f(α)}/α

=f(α)/α

另外,用拉格朗日中值定理,存在α∈(0,1),使得

f'(α)*(b-a)=f(b)-f(a)

有 f'(α)*(1-0)=f(1)-f(0)

即 f'(α)=1

∴f'(α)=f(α)/α=1

此等式可得两个结果：

即 f'(α)=1和f(α)=α

类似地,在区间(0,α)上,f(0)=0,f(α)=α

再次用第(1)题的结果,存在β∈(0,α),使得

f'(β)={[af(b)-bf(a)]/(b-a)+f(β)}/β

=f(β)/β

再次用拉格朗日中值定理,存在β∈(0,α),使得

f'(β)*(b-a)=f(b)-f(a)

即 f'(β)*α=f(α)

∴ f'(β)=1 {∵f(α)=α}

同样,在区间(0,β)上,f(0)=0,f(β)=β

再次用第(1)题的结果,存在γ∈(0,β),使得

f'(γ)={[af(b)-bf(a)]/(b-a)+f(γ)}/γ

=f(γ)/γ

再次用拉格朗日中值定理,存在γ∈(0,β),使得

f'(γ)*(b-a)=f(b)-f(a)

即 f'(γ)*β=f(β)

∴ f'(γ)=1 {∵f(β)=β}

∵γ∈(0,β),β∈(0,α),α∈(0,1),

∴α,β,γ∈(0,1),且α≠β≠γ

又 f'(α)=1,f'(β)=1,f'(γ)=1

∴存在不同的α,β,γ∈(0,1),使得

1/f'(α)+1/f'(β)+1/f'(γ)=3,得证

PS：此结论应可继续推广下去,应该可能存在

n个不同的数x1,x2,...,xn∈(0,1),使得

1/f'(x1)+1/f'(x2)+...+1/f'(xn)=n

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识