证：若f(X)在负无穷大到正无穷大内导数恒为常数,则f(X)在负无穷大到正无穷大内是一线性函数,即f(X)=ax+b
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由题意,可设f'(x)=k(k为常数）.对任意实数m,当x>m时,由微分中值定理得：f(x)-f(m)=k(x-m).===>f(x)=kx+[f(m)-km].当xf(x)=kx+[f(m)-km].当x=m时,显然成立.令k=a,f(m)-km=b,则有f(x)=ax+b.
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