为啥ln[x+根号下(1+x^2)]是【-2,2】上的增函数?我只是高一,
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设2>x1>x2>-2
f(x)=ln[x+√(1+x^2)]
f(x1)-f(x2)=ln[x1+√(1+x1^2)]/[x2+√(1+x2^2)],接下来只要说明f(x1)-f(x2)>0即为增函数
考虑
[x1+√(1+x1^2)]-[x2+√(1+x2^2)]=[√(1+x1^2)-√(1+x2^2)]-(x1-x2)
=(x1^2-x2^2)/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]-(x1-x2) {前半部分分子有理化}
=(x1-x2)[x1+x2+√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)] {提取公因式x1-x2}
由于x1-x2>0,[x1+x2+√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]>0,
所以[x1+√(1+x1^2)]-[x2+√(1+x2^2)]>0
即[x1+√(1+x1^2)]/[x2+√(1+x2^2)]>1
所以x1>x2时,f(x1)-f(x2)>0,即为增函数
