解题思路：（1）求出f（x）的导函数，令x=[2/3]求出
f ′(
2
3
)
将其代入f′（x），列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表求出函数的单调区间．
（2）由（1）中的表，求出函数的极大值、极小值，令极大值等于0极小值等于0求出c的值．
（3）将C的值代入f（x），根据已知条件确定出f（x），令f（x）=0求出两个根，即函数与x的轴的两个交点，利用定积分求出函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．
（1）由f(x)＝x3+f ′(
2
3)x2−x+C，
得f ′(x)＝3x2+2f ′(
2
3)x−1．
取x＝
2
3，得f ′(
2
3)＝3×(
2
3)2+2f ′(
2
3)×(
2
3)−1，
解之，得f ′(
2
3)＝−1，
∴f（x）=x3-x2-x+C．
从而f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
1
3)(x−1)，
列表如下：
x (−∞，−
1
3) −
1
3 (−
1
3，1) 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗∴f（x）的单调递增区间是(−∞ ， −
1
3)和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是(−
1
3 ， 1)
（2）由（1）知，[f(x)]极大值＝f(−
1
3)＝(−
1
3)3−(−
1
3)2−(−
1
3)+C＝
5
27+C；
[f（x）]极小值=f（1）=13-12-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，
等价于[f（x）]极大值=0或[f（x）]极小值=0．
∴常数C＝−
5
27或C=1．
（3）由（2）知，f(x)＝x3−x2−x−
5
27或f（x）=x3-x2-x+1．
而f(−
1
3)＞0，所以f（x）=x3-x2-x+1．
令f（x）=x3-x2-x+1=0，得（x-1）2（x+1）=0，x1=-1，x2=1．
∴所求封闭图形的面积=
∫1−1(x3−x2−x+1)dx=
(
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；定积分．
考点点评： 解决函数的单调性问题，一般求出函数的导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间；令导函数小于0求出函数的单调递减区间．
