为什么正定矩阵2个对角元素的积一定大于或等于任何非 - 已解决 - 学校大全

为什么正定矩阵2个对角元素的积一定大于或等于任何非对角元素的平方?

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要证aii*ajj>aij^2.

记ei是第i个元素为1,其余元素为0的n维列向量,则由A正定知道,对任意的x＝x1ei+x2ej,有x^TAx>0.

而x^TAx=(x1ei+x2ej)^TA(x1ei+x2ej)=x1^2(ei^TAei)+2x1x2(ei^TAej)+x2^2(ej^TAej)

=aii*x1^2+2aij x1x2+ajj*x2^2>0,对所有的非零元素x1,x2成立.

即二次型f(x1,x2)=aii*x1^2+2aij x1x2+ajj*x2^2是正定二次型,因此其对应的矩阵

【aii aij

aji ajj】是正定的,于是有aii*ajj>aij^2.

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