令t=1/x
则t->0
lim x→无穷 [1/x-arctan(1/x)] / [sin(1/x)]^3
=lim t→0 [t-arctan(t)] / [sin(t)]^3
等效替换sin t
=lim t→0 [t-arctan(t)] /t^3
0/0
洛必达
=lim t→0 [1-1/(1+t^2)] /3t^2
=lim t→0 [t^2/(1+t^2)] /3t^2
=lim t→0 1/[3(1+t^2)]
=1/(3*1)
=1/3
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