设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-14(a2+b2-c2-d2)2是一个非零整数，求证：|m|一定
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解题思路：先把
m=
(ab+cd)
2
-
1
4
(
a
2
+
b
2
-
c
2
-
d
2
)
2
进行因式分解，再由因式分解的结果及合数的定义进行解答．
要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p•q，p•q均为大于1的正整数即可．证明：m=(ab+cd)2-
1
4(a2+b2-c2-d2)
=[ab+cd+
1
2(a2+b2-c2-d2)][ab+cd-
1
2(a2+b2-c2-d2)
=[1/4[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2]
=
1
4[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]
=
1
4(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)
因为m是非零整数，则
1
4(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整数．
由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，
所以四个数均为偶数．
所以可设a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数．
所以m=
1
4]（2m1）（2m2）（2m3）（2m4）=4m1m2m3m4，
所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0，
所以|m|是一个合数．
点评：
本题考点： 质数与合数．
考点点评： 本题考查的是质数与合数的定义、因式分解、奇数与偶数的定义、绝对值的性质，涉及面较广，难度较大．
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