如图,已知四边形ABCD、AEFG均为正方形,∠BAG=α(0°<α<180°).
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解题思路:(1)根据正方形的性质可得到△DAG≌△BAE(SAS),且AD、AB夹角为90°,所以△BAE是△DAG顺时针旋转90°得到的.

(2)当α=90°时,点E、点G分别在BA、DA的延长线上,形成的图形是一个等腰梯形BDEG,且面积最大,可以知道∠BAG=90°.

(1)证明:

证法一:∵四边形ABCD,AEFG均为正方形,

∴∠DAB=∠GAE=90°,AD=AB,AG=AE,(2分)

∴将AD、AG分别绕点A按顺时针方向旋转90°,它们恰好分别与AB、AE重合.

即点D与点B重合,点G与点E重合.(3分)

∴DG绕点A顺时针旋转90°与BE重合,(5分)

∴BE=DG,且BE⊥DG.(6分)

证法二:∵四边形ABCD、AEFG均为正方形,

∴∠DAB=∠GAE=90°,AD=AB,AG=AE,(2分)

∴∠DAB+α=∠GAE+α,

∴∠DAG=∠BAE,

①当α≠90°时,由前知△DAG≌△BAE(SAS),(2分)

∴BE=DG,(3分)

∴∠ADG=∠ABE,(4分)

设直线DG分别与直线BA、BE交于点M、N,

又∵∠AMD=∠BMN,∠ADG+∠AMD=90°,

∴∠ABE+∠BMN=90°,(5分)

∴∠BND=90°,

∴BE⊥DG,(6分)

②当α=90°时,点E、点G分别在BA、DA的延长线上,显然BE=DG,且BE⊥DG.

(说明:未考虑α=90°的情形不扣分)

(2)当α=90°时,点E、点G分别在BA、DA的延长线上,形成的图形是一个等腰梯形BDEG,

通过观察比较可知,当α=90°时,S有最大值,且S=[1/2]×3×2×2+[1/2]×2×2+[1/2]×3×3=[25/2].(7分)

当S取得最大值时,α=90°.(8分)

点评:

本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.

考点点评: 本题利用了正方形的性质,旋转的判定性质,以及有一个公共点的两个正方形的对角线形成的图形,其面积的最大值的问题.