求下列条件极值：z=xy,联系方程是x+y=1;
1个回答

这里完全可以不用拉格朗日乘数法,化成一元函数求极值,

条件转成y=1-x,

z=x(1-x)=x-x^2,

z=-(x^2-x+1/4)+1/4=-（x-1/2)+1/4,

x=1/2时有极大值,y=1-1/2=1/2.

z(max)=(1/2)*(1/2)=1/4.

用拉格朗日乘数法：

∂z/∂x=y,

∂z/∂y=x,

设∂φ=x+y-1=0,

∂φ/∂x=1,

∂φ/∂y=1,

∂z/∂x+λ∂φ/∂x=0,

y+λ*1=0,

y+λ=0,

∂z/∂y+λ∂φ/∂y=0,

x+λ=0,

消去λ,

得：x=y,

x+x=1,

x=1/2,y=1/2,

∴z(max)=xy=(1/2)*(1/2)=1/4.

相关问题