我用对坐标的曲面积分和高斯公式算出来的结果不同

我用对坐标的曲面积分和高斯公式算出来的结果不同

∫∫zdxdy+xdzdy+ydxdz,s是柱面x^2+y^2=1被平面z=0及z=3 所截部分的外侧.那个∫∫下面有s,我分别算了两种方法,答案不同,高斯方法算出来不是正确答案,不知道为什么,希望能告诉我正确的高斯方法解题过程,谢谢

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计算∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy,其中Σ是柱面x^2 + y^2被平面z = 0及z = 3所截部分的外则.

用高斯公式：

补面Σ1：z = 3,上侧、Σ2：z = 0,下侧

于是∫∫(Σ+Σ1+Σ2) xdydz + ydzdx + zdxdy

= 3∫∫∫Ω dV

= 3 * π * 1^2 * 3

= 9π

∫∫Σ1 xdydz + ydzdx + zdxdy

= 3∫∫D dxdy

= 3 * π * 1^2

= 3π

∫∫Σ2 xdydz + ydzdx + zdxdy

= 0

于是∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy = 9π - 3π = 6π

用基本方法.

已知∫∫Σ z dxdy = 0

考虑yoz面,x = ± √(1 - y^2)

∫∫Σ xdydz + ydzdx

= ∫∫Σ前 + ∫∫Σ后

= ∫∫D [ - y * - y/√(1 - y^2) - 0 + √(1 - y^2) ] dydz - ∫∫D [ - y * y/√(1 - y^2) - 0 - √(1 - y^2) ] dydz

= 2∫∫D 1/√(1 - y^2) dydz

= 2∫(0,3) dz ∫(- 1,1) 1/√(1 - y^2) dy

= 2 * 3 * π

= 6π

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