一道八年级数学题如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.
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（1）∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥CF,AB=CD,
∵E是AB中点,F是CD中点,
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF,
∴四边形FGEH是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD是矩形时,平行四边形EHFG是菱形．
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∵E是AB中点,F是CD中点,
∴BE=CF,
在△EBC与△FCB中,
∵BE=CF∠ABC=∠DCBBC=BC,
∴△EBC≌△FCB,
∴CE=BF,
∠ECB=∠FBC,
BH=CH,
EH=FH,
平行四边形EHFG是菱形；
（3）当平行四边形ABCD是矩形,并且AB=2AD时,
平行四边形EHFG是正方形．
∵E,F分别为AB,CD的中点,且AB=CD,
∴AE=DF,且AE∥DF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
∴AD=EF,
又∵AB=2AD,E为AB中点,则AB=2AE,
于是有AE=AD=12AB,
这时,EF=AE=AD=DF=12AB,∠EAD=∠FDA=90°,
∴四边形ADFE是正方形,
∴EG=FG=12AF,AF⊥DE,∠EGF=90°,
∴此时,平行四边形EHFG是正方形．
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