(1)
根据圆锥曲线的第二定义知,曲线C的离心率根据圆锥曲线的第二定义知,
曲线C的离心率
e＝√[(1－0)^2＋(0－1)^2]/(2－0)＝√2/2＜1,
故为椭圆,
根据条件解得曲线C的轨迹方程为：x^2/2+y^2=1 .
（2）
假设存在直线l,使得点F是△BMN的重心.
再设直线l与椭圆 x^2/2+y^2=1.的交点M、N
M、N的坐标分别为M(x1,y1)、N(x2,y2),
则由椭圆几何性质的范围性知：
－√2≤x1≤√2,
－√2≤x2≤√2,
则－2√2≤x1＋x2≤2√2＜3,
另一方面,F(1,0)是△BMN的重心,
结合 B(0,1)及重心坐标公式知
3*1＝0＋x1＋x2,
即x1＋x2＝3,
这与≤x1＋x2≤2√2＜3矛盾,
故满足要求的直线l不存在.
（3）
假设存在直线l,使得点F是△BMN的垂心.
由B(0,1)、F(1,0),知直线BF的斜率为－1.
于是,由BF⊥MN,知直线l的斜率为1.
设直线l方程为y＝x＋b.与x^2/2+y^2=1 联立
消去y,得3x^2＋4bx＋2(b^2－1)＝0 （*）
设M(x1,y1)、N(x2,y2),
根据韦达定理得
x1＋x2＝－4b/3,
x1x2＝(2b^2－2)/3.
若再能保证NF⊥BM,即NF→•BM→＝0,
则F必为△BMN的垂心.(NF→:表示向量)
∵NF→＝（1－x2,－y2）,BM→＝(x1,y1－1)
NF→•BM→
＝(1－x2)x1－y2(y1－1)
＝x1＋y2－x1x2－y1y2
＝x1＋(x2＋b)－x1x2－(x1＋b)(x2＋b)
＝－2x1x2＋(1－b)(x1＋x2)＋b－b^2
＝－2*(2b^2－2)/3＋(1－b)(－4b/3)＋b－b^2
=3b^2＋b－4
＝0
即3b^2＋b－4＝0,
(b-1)(3b+4)＝0
解得b＝1或b＝－4/3.
当b＝1时,点B即为直线l与椭圆的交点,不合题意；
当b＝－43时,代入方程（*）得
3x^2－16x/3＋14/9＝0,
其判别式△＝16^2/9－4×3×14/9＝88/9>0,
则两端点存在,满足题设.
综上得,存在直线l:y＝x－4/3,使得点F是△BMN的垂心.
