什么是梅氏定理?梅氏定理,即梅涅劳斯定理!

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梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1.它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.编辑本段梅涅劳斯(Menelaus)定理证明证明一：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD ,BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG.三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二：过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC',所以AD：DB=AA'：BB',BE：EC=BB'：CC',CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 证明四：连接BF.（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1 此外,用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB.于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1.编辑本段角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E,F,D三点共线,则 (∠ACF/∠FCB)(∠BAD/∠DAC)(∠CBA/∠ABE)=1 即图中的蓝角之积等于红交之积该形式的梅涅劳斯定理也很实用