对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数.
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对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数.
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0
②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
已知函数g(x)=x^2与h(x)=x^x-b是函数.
（1）试问函数g(x)是否为G函数?并说明理由；
（2）若函数h(x)是G函数,求实数b组成的集合
（1）
g(x)=x²≥0,对于所有x∈R成立,[0,1]包含于R,
所以g(x)满足条件①；
当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,
g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(x1+x2)²-[x1²+x2²]=2x1x2≥0,
所以g(x1+x2)≥[g(x1)+g(x2)],
所以g(x)满足条件②；
所以函数g(x)是G函数.
（2）
h(x)=x^x-b是定义在[0,1]上的G函数,
所以x^x-b≥0（x∈[0,1]）,
即 b≤x^x≤1；
当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,
h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),
即 (x1+x2)^(x1+x2)-b≥[x1^x1-b]+[x2^x2-b],
亦即 b≥[x1^x1+x2^x2]-(x1+x2)^(x1+x2),
因为(x1+x2)^(x1+x2)≤1,
所以b≥[x1^x1+x2^x2]-1,
而x1^x1＞0,x2^x2＞0,
所以b＞-1,
所以b∈(-1,1].
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