已知函数f（x）在R+上可导，f（x）＞0，limx→+∞f(x)=1，且满足limh→0(f(x+hx)f(x))1h
1个回答
解题思路：对1∞类的极限求法，先取对数，求对数的极限再求原极限．
设y=(
f(x+hx)
f(x))
1
h
两边取对数得
lny=
1
hln
f(x+hx)
f(x)
因为
lim
h→0lny=
lim
h→0
1
hln
f(x+hx)
f(x)
=
lim
h→0
x[lnf(x+hx)-lnf(x)]
hx
=x[lnf（x）]'
故
lim
h→0(
f(x+hx)
f(x))
1
h=ex[lnf(x)]′
由已知条件知ex[lnf(x)]′=e
1
x
因此x[lnf(x)]′=
1
x
即[lnf(x)]′=
1
x2
解得
f(x)=Ce-
1
x
又
lim
x→+∞f(x)=1得C=1
故 f(x)=e-
1
x
点评：
本题考点： 自变量趋于无穷大时函数的极限．
考点点评： 本题考查对1∞类的极限求法，以及函数导数的极限表示．要熟悉函数导数的极限形式，以及对1∞类的极限的固定求法．
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