解题思路：（1）求导数，利用g（x）=（x-l）2f′（x）在（1，+∞）是增函数，g′（x）=
a(x−1)
x
≥0，尽快求实数a的取值范围；
（2）设g（b）=0，则b∈（3，4），再确定x=b时，f（x）min=f（b）=
b(1+lnb)
b−1
，即可求满足条件的正整数n的最大值；
（3）先证明ln[1+（2n-1）（2n+1）]＞2-[3/2]（[1/2n−1]-[1/2n+1]），n取1，2，…，n再相加可得结论．
（1）f′（x）=[ax−alnx−a−1
(x−1)2，
∴g（x）=ax-alnx-a-1，
由g′（x）=
a(x−1)/x]≥0，得a≥0，又a=0时，g（x）=-1，函数不具有单调性，
∴a＞0；
（2）a=1时，g（x）=x-lnx-2，g（3）=3-ln3-2＜0，g（4）=4-ln4-2＞0，
设g（b）=0，则b∈（3，4），
∴x∈（1，b）时，g（x）＜0，x∈（b，+∞）时，g（x）＞0，
∴x∈（1，b）时，f′（x）＜0，x∈（b，+∞）时，f′（x）＞0，
∴x=b时，f（x）min=f（b）=
b(1+lnb)
b−1，
∵g（b）=0，
∴b=lnb-2=0，即lnb=b-2，
∴f（b）=b∈（3，4），
∴n≤3，
∴满足条件的正整数n的最大值为3；
（3）证明：由（2）知a=1时，f（x）＞3恒成立，即
x(1+lnx)
x−1＞3，
∴lnx＞2-[3/x]（x＞1），
令x=1+（2n-1）（2n+1），则
ln[1+（2n-1）（2n+1）]＞2-[3/2]（[1/2n−1]-[1/2n+1]），
n取1，2，…，n再相加可得：ln{（1+1×3）×（1+3×5）×…×[1+（2n-l）（2n+l）]}＞2n-[3/2]，
∴（1+1×3）×（1+3×5）×…×[1+（2n-l）（2n+l）]＞e 2n−
3
2．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
