已知椭圆x^2/5+y^2/3=m^2/2,过右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A,B,M为AB中点,射线OM交椭圆与N点
1个回答

证明:

[[1]]

不妨假设m＞0.

椭圆(x²/5)+(y²/3)=m²/2.

a²=(5m²)/2. b²=(3m²)/2. c²=a²-b²=m²

∴该椭圆右焦点F(m, 0).

同时,椭圆方程可化为6x²+10y²=15m².

由题设可知,直线AB的方程可设为y=x-m.

把这个直线方程与椭圆方程联立,整理可得

16x²-20mx-5m²=0

设A(x1, x1-m),B(x2, x2-m)

由韦达定理可得

x1+x2=(5m)/4

∴由中点坐标公式可知,M(5m/8, -3m/8)

[[2]]

假设线段OP的中点为M.即OM=MP.

由中点坐标公式及O(0,0),M(5m/8, -3m/8)可得

P(5m/4, -3m/4)

显然,很容易地验证x=5m/4, y=-3m/4满足方程

6x²+10y²=15m²

∴点P(5m/4, -3m/4)在这个椭圆上.

结合题设可知,两点P, N 重合,

∴在四边形OANB中,就有OM=MN,且AM=BM.

∴四边形OANB是平行四边形.

由向量加法的平行四边形法则可知

OA+OB=ON.

证毕

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