如图，在直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 中，点M是A 1 B的中点，点N是B 1 C的中点，连接MN
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（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
；
试题分析：（Ⅰ）主要利用线线平行可证线面平行；（Ⅱ）通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量来解；
试题解析：（Ⅰ）证明：连接AB 1，
∵四边形A 1ABB 1是矩形，点M是A 1B的中点，
∴点M是AB 1的中点；∵点N是B 1C的中点，
∴MN//AC，∵MN
平面ABC，AC
平面ABC，
∴MN//平面ABC 6分
（Ⅱ）解 ：（方法一）如图，作
，交
于点D，
由条件可知D是
中点，连接BD，∵AB=1，AC=AA 1=
，BC=2，
∴AB 2＋AC 2= BC 2，∴AB⊥AC，
∵AA 1⊥AB，AA 1∩AC=A，∴AB⊥平面
∴AB⊥A 1C, ∴A 1C⊥平面ABD，∴
∴
为二面角A—A 1C—B的平面角，在
，
，
，
在等腰
中，
为
中点，
， ∴
中，
，
中，
，
∴二面角A—
—B的余弦值是
12分
（方法二）
三棱柱
为直三棱柱，
∴
，
，
，
， ∴
，∴
如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0), B(0,1,0), C(
,0,0), A 1(0,0,
)，
如图，可取
为平面
的法向量，
设平面
的法向量为
，
则
,
，
则由
又
，不妨取m=1，则
，
可求得
，
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