设向量b可由a1,a2,a3,...,ar线性表出,但不能由a1,a2,a3,..,ar-1线性表出
1个回答

因为β可由向量组α1,α2,..,αr线性表示

所以存在一组数 k1,k2,...,kr 使得

β = k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr

1.反证.

如果 αr 可由 α1,α2,...,αr-1 线性表示

设 αr=t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1

则 β = k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr

= k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+kr(t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1)

即β可由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示

这与已知矛盾!

所以αr 不能由 α1,α2,...,αr-1 线性表示.

2.

又因为β不能由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示

所以 kr≠0

所以 αr=(1/kr)β-(k1/kr)α1-(k2/kr)α2-...-(kr-1/kr)αr-1

所以 αr 可由α1,α2,...,αr-1,β线性表示