已知x1、x2是方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根.是否存在常数k,使
x
1
x
2
+
x
2
x
1
=
3
2
成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解题思路:由于方程有实数根,根据一元二次方程的根的判别式确定k取什么值,然后根据根与系数的关系化简代数式,求出k的值,再检查k的值是否满足原方程有实数根,从而确定是否存在k值.
∵a=1,b=-2k,c=k2-k
而△=b2-4ac=(-2k)2-4(k2-k)=4k
∴当k≥0时,方程有实数根;
∵x1+x2=2k,x1x2=k2-k,
而
x1
x2+
x2
x1=
(x1+x2)2−2x1x2
x1x2
=
4k2−2(k2−k)
k2−k
=[3/2],
整理,解得:k1=0,k2=-7(舍去),
当k=0时,x1=x2=0,
x1
x2,
x2
x1无意义;
故不存在常数k,使
x1
x2+
x2
x1=
3
2成立.
点评:
本题考点: 根与系数的关系;根的判别式.
考点点评: 本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的运用.还应用了怎样化简代数式,及怎样验根.
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