三角形内找正三角形的问题已知三角形ABC,在AB,BC,CA上分别取点D,E,F使得三角形DEF为正三角形,记BC=a,
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设正三角形的边长是t
CE=x
角CEF=q度
利用正弦定理
x/sin(C+q)=t/sinC
(a-x)/sin(B+120-q)=t/sinB
所以
xsinC/sin(C+q)=t
(a-x)sinB/sin(B+120-q)=t
所以
xsinC/sin(C+q)=(a-x)sinB/sin(B+120-q)
利用和比定理,削去x
t=x/[sin(C+q)/sinC]=(a-x)/[sin(B+120-q)/sinB]=a/{[sin(C+q)/sinC]+[sin(B+120-q)/sinB]}
所以我们可以用一个角度q表示t
t=a/{[sin(C+q)/sinC]+[sin(B+120-q)/sinB]}
我们要求t的最小值.
就是求[sin(C+q)/sinC]+[sin(B+120-q)/sinB]的最大值.
就是求cosq+cotCsinq+[sin(B+120)/sinB]cosq-sinq[cos(B+120)/sinB]的最大值.
就是求{1+[sin(B+120)/sinB]}cosq+[cotC-cos(B+120)/sinB]sinq的最大值.
其中注意到B,C还有那些三角函数都可以用三角形abc三边表示.
设
{1+[sin(B+120)/sinB]}＝X
[cotC-cos(B+120)/sinB]=Y
所以就是要求Xcosq+Ysinq的最大值,根据cauchy不等式有.
(Xcosq+Ysinq)^2
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