求二元函数f（x，y）=x2（2+y2）+ylny的极值．
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解题思路：由于点P为二元函数f（x，y）极值点的一个必要条件是点P为函数的驻点（即一阶导数在点P处的值为0）．故求二元函数极值的一般步骤为：（1）求解二元函数的所有驻点；（2）对所有驻点逐一进行分析，利用极值的定义或者极值的判定定理，判断其是否为极值点．
（1）由一阶导数=0联立，求解函数的所有驻点．
由 fx′(x，y)＝2x(2+y2)＝0，fy′(x，y)＝2x2y+lny+1＝0，可得
x＝0，y＝
1
e．
（2）利用二元函数极值的判断定理，判断点 (0，
1
e) 是否为极值点．
由于 f″xx＝2(2+y2)，f″yy＝2x2+
1
y，f″xy＝4xy，
将 x＝0，y＝
1
e 带入可得，
f″xx|(0，
1
e)＝2(2+
1
e2)
f″xy|(0，
1
e)＝0
f″yy|(0，
1
e)＝e
因为 f″xx＞0 而(f″xy)2−f″xxf″yy＜0，故点 (0，
1
e) 为函数的极小值点．
从而，二元函数存在极小值f(0，
1
e)＝−
1
e
点评：
本题考点： 二元函数极值的定义．
考点点评： 本题主要考察了二元函数极值点的定义与判定．
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