一道超难的椭圆题椭圆焦点在x轴上,P和Q是椭圆上两个动点.P在第一象限,Q在第二象限.且PO垂直QO,O是坐标原点.直线
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设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1

是与定圆x^2+y^2=a^2b^2/(a^2+b^2)相切的.

设PO所在直线y=kx,

那么QO所在直线为y=-x/k

把PO与椭圆方程联立解得P点的横坐标x0满足x0^2=a^2b^2/(b^2+a^2k^2)

所以PO的长满足PO^2=(1+k^2)x0^2=(1+k^2)a^2b^2/(b^2+a^2k^2)

把k换成-1/k就求出了QO^2

然后PQ^2=PO^2+QO^2

然后根据等面积法,O点到直线PQ的距离d满足

d*PQ=PO*QO

所以求出d=PO*QO/PQ

d^2=PO^2*QO^2 / PQ^2=PO^2*QO^2 /(PO^2+QO^2)=a^2b^2/(a^2+b^2)

所以PQ到点O的距离是个定值.所以与圆x^2+y^2=a^2b^2/(a^2+b^2)相切

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