已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．
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解题思路：将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）转化为（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），再结合条件a，b，c是不全相等的正数，应用基本不等式即可．
证明：∵ab+a+b+1=（a+1）•（b+1），ab+ac+bc+c2=（a+c）•（b+c），
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），
∵a，b，c是正数，
∴a+1≥2
a＞0，b+1≥2
b＞0，a+c≥2
ac＞0，b+c≥2
bc＞0，
又a，b，c是不全相等的正数，
∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2
a×2
b×2
ac×2
bc=16abc，
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．
点评：
本题考点： 不等式的证明；基本不等式．
考点点评： 本题考查不等式的证明，关键是将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）转化为（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），着重考查基本不等式的应用，属于中档题．
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