方程x^3-3x-m=0有且只有2个不同的实根,则实数m=
收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
1个回答

设两个不同的实根为a,b,则方程可表示为：

(x-a)(x-b)^2=x^3-3x-m=0 或 (x-a)^2(x-b)=x^3-3x-m=0

对前一种情况：

(x-a)(x-b)^2=(x-a)(x^2-2bx+b^2)

=x^3-(a+2b)x^2+(b^2+2ab)x-ab^2=x^3-3x-m=0

a+2b=0,b^2+2ab=-3,m=ab^2

解得 a=±2 b=±1 （a,b异号）

∴ m=ab^2=a=±2

对后一种情况：

(x-a)^2(x-b)=(x^2-2ax+a^2)(x-b)

=x^3-(2a+b)x^2+(a^2+2ab)x-a^2b=x^3-3x-m=0

2a+b=0,a^2+2ab=-3,m=a^2b

解得 a=±1 b=±2 （a,b异号）

∴ m=a^2b=±2

综合上述情况,m=±2

另一种简单解法：

对函数y=x^3-3x-m求导,得y'=3x^2-3

令y=0,得3x^2-3=0 => x=±1

即函数极值点在x=1或x=-1的地方

三次函数与x轴只有2个交点,则其中一个极值点必为交点之一

若x=1为交点解,则有：m=x^3-3x=1-3=-2

若x=-1为交点解,则有：m=x^3-3x=-1+3=2

两种情况皆有可能,∴m=±2

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识