(2011•娄底模拟)如图,AB是半圆O上的直径,E是
BC
的中点,OE交弦BC于点D,过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F,已知BC=8,DE=2.
(1)求⊙O的半径;(2)求CF的长.
解题思路:(1)设⊙O的半径为x,由E点是
BC
的中点,O点是圆心,根据垂径定理的推论得到OD⊥BC,DC=
1
2
BC
=4,然后在Rt△ODC中,根据勾股定理可计算出x.
(2)根据切线的性质得到OD⊥BC,再根据射影定理得到OC2=OD•OF,计算出OF,然后根据勾股定理可计算出CF的长.
(1)设⊙O的半径为x,
∵E点是
BC的中点,O点是圆心,
∴OD⊥BC,DC=[1/2BC=4,
在Rt△ODC中,OD=x-2,
∴OD2+DC2=OC2
∴(x-2)2+42=x2
∴x=5,即⊙O的半径为5;
(2)∵FC是⊙O的切线,
∴OC⊥CF
又∵E是
BC]的中点.
∴OD⊥BC,
∴OC2=OD•OF,即52=3•OF
∴OF=
25
3
在Rt△OCF中,OC2+CF2=OF2
∴CF=
20
3
点评:
本题考点: 垂径定理的应用;勾股定理;切线的性质;射影定理.
考点点评: 本题考查了垂径定理的推论:过圆心平分弧的直径垂直平分弦.也考查了切线的性质、勾股定理以及射影定理.
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