（2011•娄底模拟）如图，AB是半圆O上的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于

（2011•娄底模拟）如图，AB是半圆O上的直径，E是

BC

的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2．

（1）求⊙O的半径；（2）求CF的长．

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解题思路：（1）设⊙O的半径为x，由E点是

BC

的中点，O点是圆心，根据垂径定理的推论得到OD⊥BC，DC=

1

2

BC

=4，然后在Rt△ODC中，根据勾股定理可计算出x．

（2）根据切线的性质得到OD⊥BC，再根据射影定理得到OC2=OD•OF，计算出OF，然后根据勾股定理可计算出CF的长．

（1）设⊙O的半径为x，

∵E点是

BC的中点，O点是圆心，

∴OD⊥BC，DC=[1/2BC=4，

在Rt△ODC中，OD=x-2，

∴OD2+DC2=OC2

∴（x-2）2+42=x2

∴x=5，即⊙O的半径为5；

（2）∵FC是⊙O的切线，

∴OC⊥CF

又∵E是

BC]的中点．

∴OD⊥BC，

∴OC2=OD•OF，即52=3•OF

∴OF＝

25

3

在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2

∴CF＝

20

3

点评：

本题考点： 垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质；射影定理．

考点点评： 本题考查了垂径定理的推论：过圆心平分弧的直径垂直平分弦．也考查了切线的性质、勾股定理以及射影定理．

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