微积分的一道题,最好能写点说明,谢啦.
1个回答

首先

x ∫(0,1) f(tx)dt=∫(0,x) f(tx)d(tx),令tx=u,

即原方程可以化简为

f(x)=∫(0,x) f(u)d(u) +(1-x)*e^2x ,

对等式两边求导可以得到,

f '(x)=f(x) +(1-2x)*e^2x

就得到了一阶线性微分方程：f '(x) - f(x) =(1-2x)*e^2x

由公式可以得到其通解为：

f(x) = e^x(C+∫ e^(-x)*(e^2x-2x*e^2x) dx )

而 ∫ e^(-x)*(e^2x-2x*e^2x) dx

=∫ e^x-2x*e^x dx

=3e^x -2x*e^x

所以f(x)= e^x(C+3e^x -2x*e^x)

而f(0)=1,代入得到C= -2

即f(x)=3e^2x -2x*e^2x -2e^x

不明白再追问我

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