抛物线y=x^2上有长度为2的弦AB.求 1.弦中点M到x轴的最短距离 2.弦中点M的轨迹方程
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设（x1,x1^2),(x2,x2^2)是抛物线上两点,由长为2知sqrt((x2-x1)^2+(x2^2-x1^2)^)=2可得 （x2-x1)^2*(1+(x1+x2)^2)=4.又弦的中点坐标设为（s,t）,就有：s=(x1+x2)/2,t=(x1^2+x2^2)/2 而(x2-x1)^2=2(x1^2+x2^2)-(x1+x2)^2=4t-4s^2 所以中点(s,t)总满足：(4t-4s^2)(1+4s^2)=4,(t-s^2)(1+4s^2)=1 所以,弦中点满足方程：(y-x^2)(1+4x^2)=1.也可写成：y=x^2+1/(1+4x^2).弦中点M到x轴的距离即y=x^2+1/(1+4x^2)=(1+4x^2)/4+1/(1+4x^2)-1/4 >=2sqrt[(1+4x^2)/4*1/(1+4x^2)]-1/4=1-1/4=3/4.上式等号在x=±1/2时成立.故弦中点M到x轴的最短距离为3/4.
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