设函数f（x）对任意x均满足等式f（1+x）=af（x），且有f′（0）=b，其中a，b为非零常数，则（　　）

设函数f（x）对任意x均满足等式f（1+x）=af（x），且有f′（0）=b，其中a，b为非零常数，则（　　）

A. f（x）在x=1处不可导

B. f（x）在x=1处可导，且f′（1）=a

C. f（x）在x=1处可导，且f′（1）=b

D. f（x）在x=1处可导，且f′（1）=ab

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2个回答

解题思路：按导函数的定义分别求取左、右导函数来判断但导函数的存在性及其取值．

函数f（x）对任意x均满足等式f（1+x）=af（x），且有f′（0）=b，其中a，b为非零常数，则

f'+（1）=

lim

x→0+

f(1+x)−f(1)

x＝

lim

x→0+

af(x)−af(0)

x＝af′+(0)＝af′(0)＝ab

f'-（1）=

lim

x→0−

f(1+x)−f(1)

x＝

lim

x→0−

af(x)−af(0)

x＝af′−(0)＝af′(0)＝ab

所以，f'+（1）=f'-（1）=ab

所以，f（x）在x=1处可导，且f′（1）=ab

故选：D．

点评：

本题考点： 导数的概念．

考点点评： 本题考查导数的概念．求函数的可导性的时候一般按定义分别求解左、右导函数，然后根据左、右导函数的情况来判断导函数的存在性．

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