离散型随机变量x的概率分布如下求该随机变量的数学期望 P{x=i}=2a^i,i=1,2. 请把详细步骤写出谢谢1
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由分布列的性质,
Σ{i=1→∞} 2a^i = 2*[a/(1-a)]=1
解得 a=1/3
EX= Σ{i=1→∞} i*2*(1/3)^i = 2*Σ{i=1→∞} i*(1/3)^i;
为求上面的和,需要利用幂级数的求和方法：
Σ{i=1→∞} i*x^i
= Σ{i=1→∞} (i+1)*x^i - Σ{i=1→∞} x^i
而
Σ{i=1→∞} (i+1)*x^i = Σ{i=1→∞} [ x^(i+1)]'
=[Σ{i=1→∞} x^(i+1)]'=[x^2/(1-x)]'
=(2x-x^2) / (1-x)^2
又
Σ{i=1→∞} x^i =x/(1-x)
所以
Σ{i=1→∞} i*x^i
= Σ{i=1→∞} (i+1)*x^i - Σ{i=1→∞} x^i
=(2x-x^2) / (1-x)^2 - x/(1-x)
=x/(1-x)^2
将x=1/3代入
EX=2Σ{i=1→∞} i*(1/3)^i;
=2*(1/3) / [(1-(1/3)]^2
=3/2
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