在四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pa垂直底面abcdAB=根号3,bc=1,pa=2,e为pa中点,求ac与
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过D作DF⊥平面ABCD,使DF＝PA.
∵PA⊥平面ABCD、FD⊥平面ABCD,∴FD∥PA,又FD＝PA,∴ADFP是平行四边形,
∴PF∥AD、PF＝AD.
∵ABCD是矩形,∴BC∥AD、BC＝AD.
由PF∥AD、PF＝AD、BC∥AD、BC＝AD,得：BCFP是平行四边形,∴PB∥FC.
∴∠ACF＝AC与PB所成的角.
∵ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°,又AB＝√3、BC＝1,
∴由勾股定理,有：AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（3＋1）＝2.
∵ABCD是矩形,∴CD＝AB＝√3.
∵FD⊥平面ABCD,∴FD⊥CD,又FD＝PA＝2、CD＝√3,
∴由勾股定理,有：CF＝√（FD^2＋CD^2）＝√（4＋3）＝√7.
∵FD⊥平面ABCD,∴FD⊥AD,又AD＝BC＝1、FD＝2,
∴由勾股定理,有：AF＝√（AD^2＋FD^2）＝√（1＋4）＝√5.
由余弦定理,得：
cos∠ACF＝（AC^2＋CF^2－AF^2）/（2AC×CF）＝（4＋7－5）/（2×2√7）＝3√7/14.
∴AC与PB所成角的余弦值为 3√7/14.
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