设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝12且Sn−1Sn−2Sn+1＝0．
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解题思路：（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a2，a3，a4；
（2）利用（1）猜想数列{Sn}的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可，
（1）当n=1时，S1=a1=[1/2]，
当n=2时，S1S2-2S2+1=0，即a1（a1+a2）-（a1+a2）+1=0，解得a2=[1/6]．
当n=3时，S3S2-2S3+1=0，即（a1+a2+a3）（a1+a2）-（a1+a2+a1）+1=0，解得a3=[1/12]．
同理a4=[1/20]．
（2）由（1）可得S1＝
1
2，S2＝
2
3，S3＝
3
4，S4＝
4
5，
猜想Sn＝
n
n+1，n=1，2，3，…
下面用数学归纳法证明
①n=1时，已经成立；
②假设n=k时结论成立即Sk＝
k
k+1，
当n=k+1时，SkSk+1-2Sk+1+1=0，得Sk+1＝
1
2−Sk=[k+1/k+2]．所以n=k+1时结论成立．
综上由①②可知，猜想Sn＝
n
n+1，n=1，2，3，…成立．
点评：
本题考点： 数学归纳法；归纳推理．
考点点评： 本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力．
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