在正2004边形A1A2…A2004各顶点上随意填上1,2,…501中的一个数.试证明:一定存在四个顶点满足如下条件:
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解题思路:要证明其为矩形,首先要了解矩形的性质,然后再依据题中条件进行证明,第二问中在多边形各顶点中,两个顶点的和在一个大区间中,所以至少有两组顶点所填数之和相等.

证明:(1)由题意知,顶点A1与Ai=1002为一组关于中心对称的点,其中i=1,2,…1002.

则2004个顶点可分为1002组,

顺次连接每两组的顶点,均可得到一个四边形,

由于对角线互相平分且相等,

所以,得到的四边形是矩形.

(2)由题意,设在顶点A1上所填的数为a1,则

2≤a1+ai=1002≤501×2,

即2到1002共有1001个不同的数,

又1002组有1002个数,由抽屉原则知,至少有两组顶点所填数之和相等,

则此两组顶点即为所求的四个顶点.

点评:

本题考点: 矩形的判定.

考点点评: 熟练掌握矩形的性质及判定,会证明四边形为矩形,会进行一些简单的应用问题.