椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/3,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点,当l
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椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),e=√3/3,过右焦点的直线L与椭圆相交于A、B二点,直线L的斜率为1时,原点到直线L距离为√2/2.

(1)求a,b值

(2)C上是否存在点P,当L绕F转某位置,有向量OP=OA+OB成立,若存在,求P坐标及L方程,若不存在,请说明理由.

(1)解析：∵e=√3/3,∴a=√3c

设直线L方程为x=y+c

∵原点到直线L距离为√2/2,∴|c|/√2=√2/2==>c=1

∴a=√3,b=√2

(2)解析：设直线L方程为x=my+1==>x^2=m^2y^2+2my+1

椭圆：2x^2+3y^2=6

(2m^2+3)y^2+4my-4=0

Y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)

X1+x2=m(y1+y2)+2

设P(x,y)

∵向量OP=OA+OB

∴x=x1+x2=-4m^2/(2m^2+3)+2=6/(2m^2+3)

Y= y1+y2=-4m/(2m^2+3)

代入椭圆：72/(2m^2+3)^2+48m^2/(2m^2+3)^2=6

24(3+2m^2)/(2m^2+3)^2=6

4=(2m^2+3)==>m1=-√2/2,m1=√2/2

∴存在点P(3/2,-√2/2)或P(3/2,√2/2)

直线L方程x=-√2/2y+1或x=√2/2y+1

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