设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：
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解题思路：（1）A为正定阵知，存在可逆阵D，满足A=DTD，然后代入r（BTAB）=r（B），从而得证．

（2）注意是充要条件，所以既要从左证到右边，也要从右边证到左边，证法一问相同．

（1）由A为正定阵知，

存在可逆阵D，使得A=DTD．

故R（BTAB）=R（BTDTDB）

=R[（DB）T（DB）]

=R（DB）

=R（B）．

（2）由A正定知，

存在可逆阵D，使A=DTD，

由BTAB正定⇒BTAB=（DB）T（DB）正定⇒DB可逆

⇒B可逆．

由A正定，

B可逆⇒BTAB=（DB）T（DB），

再由DB可逆⇒BTAB正定．

故本题得证．

点评：

本题考点： 判断正定的充要条件；矩阵可逆的充分必要条件．

考点点评： 本题主要考查判定矩阵正定的充要条件，存在可逆阵是解答此题需要发现的关键，本题属于基础题．

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