设f(x)在(－∞,＋∞)内可导,且F(x)=f(x^2-1)+f(1-x^2),证明F'(1)=F'(－1)
1个回答

根据定义,F'(1)

= lim(dx→0)[ f[(1+dx)^2-1]+f[1-(1+dx)^2]-2f(0)]/dx

(1+dx)^2 = (-1-dx)^2,所以

= lim(dx→0)[ f[(-1-dx)^2-1]+f[1-(-1-dx)^2]-2f(0)]/dx

令t=-dx,上式可转化为

= lim(-t→0) [f(-1+t)^2 -1] + f[1-(-1+t)^2]-2f(0)]/(-t)

= - lim(t→0) [f(-1+t)^2 -1] + f[1-(-1+t)^2]-2f(0)]/t

根据定义,= - F'(-1)

楼主上面那个解法的最后一步,其实就是倒数的定义.

因为F'(1)根据倒数的定义

= lim(x→0) [F(1+x) - F(1)]/x

= lim(x→0)[f[(1+x)^2-1]+f[1-(1+x)^2]-2f(0)]/x

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