偶阶幻方
当n为偶数时,我们称幻方为偶阶幻方.当n可以被4整除时,我们称该偶阶幻方为双偶幻方,如4阶、8阶、12阶、16阶等；当n不可被4整除时,我们称该偶阶幻方为单偶幻方,如6阶、10阶、14阶等.
一、双偶幻方的解法
能被4整除的n阶幻方叫双偶幻方,如4阶、8阶、12阶、16阶等,双偶幻方用Spring法、Strachey法生成.
1、Spring法生成双偶幻方：
方法就是两句话：顺序填数,以中心点对称互换数字.
将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将n阶幻方看作一个矩阵,记为A,其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j).
第一步,先令a(i,j)=(i-1)*n+j,即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………n^2【n的平方】.
简单地说,就是1放在幻方的任意一个角格,然后按同一个方向按顺序依次填写其余数.
第二步,进行对称交换.
对称交换的方法有两种：
方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换.（保证不同时为奇或偶即可.）
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方,将各4阶幻方中对角线上（或非对角线上）的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换.
以4阶幻方为例：
第一步,先把1放在4阶幻方4个角的任意一个角格,按同一个方向按顺序依次填写其余数.如下所示：
1x092x093x094
5x096x097x098
9x0910x0911x0912
13x0914x0915x0916
或,
1x095x099x0913
2x096x0910x0914
3x097x0911x0915
4x098x0912x0916
等等等等,共有8种方法.（以下我只以第一种为例讲解.其余方法相同）
第二步,进行对称交换.（有两种对称交换的方法）
方法一：以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换）,完成幻方,幻和值34.
16x092x093x0913
5x0911x0910x098
9x097x096x0912
4x0914x0915x091
方法二：以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换）,完成幻方,幻和值34.
1x0915x0914x094
12x096x097x099
8x0910x0911x095
13x093x092x0916
以8阶幻方为例：
第一步,顺序填数.如下所示：
1x092x093x094x095x096x097x098
9x0910x0911x0912x0913x0914x0915x0916
17x0918x0919x0920x0921x0922x0923x0924
25x0926x0927x0928x0929x0930x0931x0932
33x0934x0935x0936x0937x0938x0939x0940
41x0942x0943x0944x0945x0946x0947x0948
49x0950x0951x0952x0953x0954x0955x0956
57x0958x0959x0960x0961x0962x0963x0964
等等等等,共有8种方法.（以下我只以一种为例讲解.其余方法相同）
第二步,进行对称交换.
对称交换的方法有两种：
方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换.（保证不同时为奇或偶即可.）
64x092x0962x094x095x0959x097x0957
9x0955x0911x0953x0952x0914x0950x0916
48x0918x0946x0920x0921x0943x0923x0941
25x0939x0927x0937x0936x0930x0934x0932
33x0931x0935x0929x0928x0938x0926x0940
24x0942x0922x0944x0945x0919x0947x0917
49x0915x0951x0913x0912x0954x0910x0956
8x0958x096x0960x0961x093x0963x091
或,
1x0963x093x0961x0960x096x0958x098
56x0910x0954x0912x0913x0951x0915x0949
17x0947x0919x0945x0944x0922x0942x0924
40x0926x0938x0928x0929x0935x0931x0933
32x0934x0930x0936x0937x0927x0939x0925
41x0923x0943x0921x0920x0946x0918x0948
16x0950x0914x0952x0953x0911x0955x099
57x097x0959x095x094x0962x092x0964
完成幻方,幻和值260.
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方,将各4阶幻方中对角线上（或非对角线上）的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换.
下图为将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.
64x092x093x0961x0960x096x097x0957
9x0955x0954x0912x0913x0951x0950x0916
17x0947x0946x0920x0921x0943x0942x0924
40x0926x0927x0937x0936x0930x0931x0933
32x0934x0935x0929x0928x0938x0939x0925
41x0923x0922x0944x0945x0919x0918x0948
49x0915x0914x0952x0953x0911x0910x0956
8x0958x0959x095x094x0962x0963x091
下图为将各4阶幻方中非对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.
1x0963x0962x094x095x0959x0958x098
56x0910x0911x0953x0952x0914x0915x0949
48x0918x0919x0945x0944x0922x0923x0941
25x0939x0938x0928x0929x0935x0934x0932
33x0931x0930x0936x0937x0927x0926x0940
24x0942x0943x0921x0920x0946x0947x0917
16x0950x0951x0913x0912x0954x0955x099
57x097x096x0960x0961x093x092x0964
2、Strachey法生成双偶幻方
第一步,将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方.
A C
D B
第二步,A用1至(2m)^2填写成2m阶幻方；B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填写成2m阶幻方；C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填写成2m阶幻方；D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填写成2m阶幻方；
将8阶双偶幻方表示为4×2阶幻方.将其等分为四个2×2阶偶数幻方,即4阶偶数幻方.
16x092x093x0913x0948x0934x0935x0945
5x0911x0910x098x0937x0943x0942x0940
9x097x096x0912x0941x0939x0938x0944
4x0914x0915x091x0936x0946x0947x0933
64x0950x0951x0961x0932x0918x0919x0929
53x0959x0958x0956x0921x0927x0926x0924
57x0955x0954x0960x0925x0923x0922x0928
52x0962x0963x0949x0920x0930x0931x0917
第三步,在A每行取m个小格（一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可）,将其与D相应方格内交换；B与C以相同方法进行.
对于8阶幻方,A每行取2个小格（一侧对角线格为必换格,其余1格只要不是另一侧对角线格即可）,要与D相应方格内交换；C与B以相同方法进行.
最简单的方法就是：A任意2列,与D相对应的2列互换,C任意2列,与B相对应的2列互换即可.
64x0950x093x0913x0948x0934x0919x0929
53x0959x0910x098x0937x0943x0926x0924
57x0955x096x0912x0941x0939x0922x0928
52x0962x0915x091x0936x0946x0931x0917
16x092x0951x0961x0932x0918x0935x0945
5x0911x0958x0956x0921x0927x0942x0940
9x097x0954x0960x0925x0923x0938x0944
4x0914x0963x0949x0920x0930x0947x0933
或
64x0950x093x0913x0932x0918x0935x0945
53x0959x0910x098x0921x0927x0942x0940
57x0955x096x0912x0925x0923x0938x0944
52x0962x0915x091x0920x0930x0947x0933
16x092x0951x0961x0948x0934x0919x0929
5x0911x0958x0956x0937x0943x0926x0924
9x097x0954x0960x0941x0939x0922x0928
4x0914x0963x0949x0936x0946x0931x0917
等等完成幻方,幻和值260.
二、单偶幻方的解法
不能被4整除的n阶幻方叫单偶幻方,如6阶、10阶、14阶等.单偶幻方用Strachey法生成.
第一步,将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方.
A C
D B
下面我以10阶单偶幻方为例讲解.10阶单偶幻方表示为（4*2+2）阶幻方,那么m就是2.A、B、C、D四个就是5阶奇数幻方.
A用1至(2m+1)^2填写成2m+1阶幻方【注：(2m+1)^2是(2m+1)的平方,以下同】；B用(2m+1)^2+1至2*(2m+1)^2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)^2+1至3*(2m+1)^2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)^2+1至4*(2m+1)^2填写成2m+1阶幻方.
也就是A用1至25填写成5阶幻方；B用26至50填写成5阶幻方；C用51至75填写成5阶幻方；D用76至100填写成5阶幻方.（5阶幻方的填法你会的话）
17x0924x091x098x0915x0967x0974x0951x0958x0965
23x095x097x0914x0916x0973x0955x0957x0964x0966
4x096x0913x0920x0922x0954x0956x0963x0970x0972
10x0912x0919x0921x093x0960x0962x0969x0971x0953
11x0918x0925x092x099x0961x0968x0975x0952x0959
92x0999x0976x0983x0990x0942x0949x0926x0933x0940
98x0980x0982x0989x0991x0948x0930x0932x0939x0941
79x0981x0988x0995x0997x0929x0931x0938x0945x0947
85x0987x0994x0996x0978x0935x0937x0944x0946x0928
86x0993x09100x0977x0984x0936x0943x0950x0927x0934
第二步,在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可）,简单地说,就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格,其他行左侧边缘取m个小格,将其与D相应方格内交换；B与C在最右侧取m-1列相互交换.
10阶幻方就是4*2+2,那么m就是2.在A中间一行取包括中心格在内的2个小格,其他行左侧边缘取2个小格,将其与D相应方格内交换；B与C在最右侧取1列相互交换.如下图用Strachey法生成的10阶幻方：
92x0999x091x098x0915x0967x0974x0951x0958x0940
98x0980x097x0914x0916x0973x0955x0957x0964x0941
4x096x0988x0995x0922x0954x0956x0963x0970x0947
85x0987x0919x0921x093x0960x0962x0969x0971x0928
86x0993x0925x092x099x0961x0968x0975x0952x0934
17x0924x0976x0983x0990x0942x0949x0926x0933x0965
23x095x0982x0989x0991x0948x0930x0932x0939x0966
79x0981x0913x0920x0997x0929x0931x0938x0945x0972
10x0912x0994x0996x0978x0935x0937x0944x0946x0953
11x0918x09100x0977x0984x0936x0943x0950x0927x0959
每一行,每一列,对角线的和值（称为幻和值）为505
用电子表格很容易就能算出.
