（文）已知函数f（x）=x3+ax2-ax-1（a＞0），设f′（x）的最小值为-[4/3]
3个回答
解题思路：（I）f′（x）=3x2+2ax-a=3（
x+
a
3
）2-
a
2
3
−a
，当
x＝−
a
3
时，f′（x）取最小值
−
a
2
3
−a
=
−
4
3
，由此能求出a．
（II）f（x）=x3+x2-x-1=（x+1）2（x-1），f′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1），列表讨论能求出f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．
（I）∵f（x）=x3+ax2-ax-1（a＞0），
∴f′（x）=3x2+2ax-a=3（x+
a
3）2-
a2
3−a，
∵f′（x）的最小值为-[4/3]，
∴当x＝−
a
3时，f′（x）取最小值−
a2
3−a=−
4
3，
解得a=1或a=-4（舍）
故a的值为1．…（4分）
（II）f（x）=x3+x2-x-1=（x+1）2（x-1），
f′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1），…（6分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：
x （-∞，-1） 1 （-1，[1/3]） [1/3] （[1/3]，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↑ 极大值0
↓ 极小值
−
32
27
↑当-1＜m＜1时，g（m）=f（-1）=0；
当m≥1时，g（m）=f（m）=m3+m2-m-1，
∴g（m）=
0，−1＜m＜1
m3+m2−m−1，m≥1．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．
考点点评： 本题考查利用导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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