第十一章全等三角形

【知识梳理】

1、 全等形：

能够完全重合的两个图形叫做全等形

全等三角形的定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

经过平移、翻折、旋转变换得到的新图形与原图形全等.

2、全等三角形的表示：

△ABC≌△A’B’C’

3、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等

4、全等三角形的判定：

（1）边边边——三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. ’

（2）边角边——两边和它们的夹角叫对应相等的两个三角形全等（SAS）.

（3）角边角——两角和它们的夹边叫对应相等的两个三角形全等（ASA）.

（4）角角边——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.

（5）斜边直角边——斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.

5、角平分线：

（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.

∵OC平分∠AOB

CD⊥OA于D

CE⊥OB于E

∴DC=EC

（2）判定：到角两边的距离相等的点在角平分线上.

∵DC=EC

CD⊥OA于D

CE⊥OB于E

∴OC为∠AOB平分线

（3）如何画一个角的角平分线：

第一步：以O为圆心,适当长度为半径作弧,交OA于M,交OB于N；

第二步：分别以M、N为圆心,大于二分之一MN的长度为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C；

第三步：作射线OC

射线OC即为所求.

第十二章轴对称

【知识梳理】

1、轴对称图形：

（1）定义 ：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够重合,这个图形就叫做轴对成图形.这条直线就叫做它的对称轴.

（2）性质：轴对称图形被对称轴分成的两部分全等；

轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线

（3）见过的轴对称图形：直线、线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、长方形、正方形、正多边形、圆

2、两个图形关于某直线对称：

（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对应点.

（2）性质：如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

3、轴对称图形与两个图形关于某直线成轴对称的区别：

图形个数 对称轴个数

轴对称图形 1 1

两个图形关于某直线对称 2 不确定

4、线段的垂直平分线：

（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

（2）判定：与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

（3）性质：垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.

∵OP平分AB

CP⊥AB于P

∴PA=PB

（4）如何画一个线段的垂直平分线：

第一步：分别以A、B为圆心,大于二分之一AB的长度为半径作弧, 两弧交C、D两点；

第二步：作直线CD

直线CD为所求

5、如何画轴对称图形的对称轴或另一部分图形；

如何画两个图形关于某直线对称的对称轴或另一个图形；

6、坐标系中的轴对称：

x轴 y轴 原点 X=a Y=b X=y Y=-x

初始点 （x,y） （x,y） （x,y） （x,y） （x,y） （x,y） （x,y）

对称点 （x,-y） （-y,x） （-x,-y） （2a-x,y） （x,2b-y） （y,x） （-y,-x）

7、等腰三角形：

（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形

（2）判定：

方法：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.

（3）性质：

是轴对称图形,有一条对称轴

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）.

8、等边三角形：

（1）定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.（也叫正三角形）

（2）与等腰三角形的关系：是特殊的等腰三角形.

（3）判定：

方法一：三边都相等的三角形是等边三角形

方法二：三个内角都相等三角形是等边三角形

方法三：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形

（4）性质：

是轴对称图形,有三条对称轴

等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

第十三章实数

【知识梳理】

1、平方根：

（1）算术平方根：

①定义：一般地,如果一个正数的平方等于a,那么这个数叫做a的算术平方根.

②表示：

③与平方根的关系：是平方根中的正数根

（2）平方根：

①定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.

②表示：

（3）性质：

正数的平方根是两个,它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根

被开方数的小数点向右（或左）移动2位,它的平方根的小数点向右（或左）移动1位

2、立方根：

（1）定义：一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.

（2）表示：

（3）性质：

正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0

被开方数的小数点向右（或左）移动3位,它的立方根的小数点向右（或左）移动1位

3、实数：

（1）无理数

①定义：无限不循环小数叫做无理数.

②基本形态： ； ；0.101001000100001…

（2）实数：

①定义：有理数和无理数统称实数.

②分类：

③与数轴、坐标系上的点的关系：

实数与数轴上的点是一一对应的；

一对有序实数队与坐标系上的点是一一对应的

④相反数：

两个实数相加和为0,这两个数互为相反数

一个实数的相反数就是在这个数前添加负号

⑤绝对值：

一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0

⑥倒数：两个不为0的实数相乘积为1,这两个数互为倒数.

⑦运算：在实数运算中,有理数的运算法则与运算性质均适用.

⑧比较大小：

第十五章整式的乘除

【知识梳理】

1、同底数幂的乘法与除法：

同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

任何不等于0的数的0次幂都等于1.

2、幂的乘方：

幂的乘方,底数不变,指数相乘.

3、积的乘方：

积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

4、单项式乘单项式：

单项式乘以单项式,把系数、相同字母分别相乘作为积的因式,对于只

在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

5、单项式乘多项式：

单项式乘多项式,就是用单项式去乘这个多项式的每一项,再把所得的

积相加

6、多项式乘多项式：

（1）法则：多项式乘多项式,先用这个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加

（2）公式：

平方差公式——

完全平方公式——

7、单项式除以单项式：单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

8、多项式除以单项式：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

9、因式分

（1）定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.

（2）方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法

（3）各方法的使用顺序：

先提公因式,再用公式,再次用十字相乘,最后用分组分解

（4）提公因式法：

第一步：提出各项系数最大公约数（包括负号——括号内第一项系数不能为负）

第二步：相同字母指数最小的因式

第三步：可看作一个整体的多项式指数最小的因式

（5）公式法：

平方差公式——

完全平方公式——

（6）十字相乘法：

（7）分组分解法：四项式

原则--有三个平方项用三一分组；其余均用二二分组

第十六章分式

【知识梳理】

1、分式定义：一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子 叫做分式.A叫做分子,B叫做分母.

2、分式有意义：求使B≠0的字母取值

3、分式值为0：求使不等式组 成立的字母取值

4、分式的性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式,分式的值不变.

4、分式运算：

（1）乘除：

①约分的定义：根据分式的性质,约去分子、分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分

②约分的目标：分子、分母没有公因式

③约分的内容：约去分子、分母中的系数最大公约数、相同字母和可看作一个整体的多项式指数最小的因式

④约分的步骤：

第一步：将所有分子、分母因式分解,找出公因式；

第二步：进行约分；

第三步：分子、分母中的最高次项系数不能为负

⑤乘除法的法则：

分式乘分式,用分子的积作为分子,分母的积作为分母；

分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置,与被除式相乘

⑥步骤：

第一步：将所有分子、分母因式分解；

第二步：将除法变为乘法；

第三步：将分子、分母进行约分

（2）乘方：

分式乘方要把分子、分母分别乘方.

（3）加减：

①通分的定义：根据分式的性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的通分.

②通分的目标：所有分式的分母相同

③通分的内容：将所有分母变为最简公分母

最简公分母——各分母所有因式的最高次幂的积

④通分的步骤：

第一步：将所有分母因式分解,找出最简公分母；

第二步：进行将所有分母变为最简公分母的恒等变形；

第三步：分子不能含有括号

⑤加减法的法则：

同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减；

异分母分式相加减,先通分,变为同分母分式,再加减

⑥步骤：

第一步：将所有分母因式分解,找出最简公分母；

第二步：进行将所有分母变为最简公分母的恒等变形；

第三步：分母不变,把分子相加减（即分子合并同类项）；

第四步：将分子、分母进行约分

（4）运算顺序：

先乘方,再乘除,最后加减；

有括号先做括号内的运算；

同级运算从左到右

（5）整数指数幂：

一般地,当n是正整数时, （ ）

对于一个小于1的正小数,如果小数点后第一个非0数字前有m个0,用科学记数法表示时,10的指数是-m

5、分式方程：

（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程

（2）基本思想：将分式方程化为整式方程

（3）实施方法：将方程两边同时乘以最简公分母,去分母

（4）基本步骤：

第一步：将所有分母因式分解,找出最简公分母；

第二步：将方程两边同时乘以最简公分母,去分母,化为整式方程；

第三步：解整式方程；

第四步：将方程的解代入最简公分母检验,判断是否使最简公分母为0；（最简公分母为0,则不是方程的解）

第五步：写结论

（5）应用问题：