高等数学一题,规范的.设f(x)在x=0点连续且在x趋向于0时,lim f(x)/3x =1 ,则曲线y=f(x)在点(
4个回答
第一问：
在点（0,f(x))处的切线也就是 在点（0,f(0))处的切线.
x→0,lim f(x)/3x =1 ,那么f(x) 和3x也就是等价无穷小,且f(x)在0点连续 那么必然有f(0)=0,
那么也就是求在点(0,0)的切线,现在只需求出斜率k=f'(0)即可
f'(0)= lim [f(0+△x) - f(0)]/△x = lim f(△x)/△x ----△x→0.
利用等价无穷小 3△x 代换f(△x) 得：
f'(0)= lim 3△x /△x = 3
那么切线也就为： y = 3x
第2问：
既然你是问 充要条件, 那么一定就要强调充分性和必要性.
你所说的f（x）=0 满足充分性,但不满足必要性.
完全可以直接用导数的定义求：
----△x→0
F'(0) = lim [ F(0+△x) - F(0)]/△x
= lim [（1+tan|0+△x|）*f(0+△x） - （1+tan|0|)f(0)]/△x
= lim [ (1+tan|△x|) f(△x) - f(0)]/△x
要使这个存在 则:f(0)=0
反过来,若f(0)=0, f(x)又为可导函数 则
F'(0)
= lim [ (1+tan|△x|) f(△x) - f(0)]/△x
= lim [(1+tan|△x|) f(△x) ]/△x
= f'(0) * lim(1+tan|△x|）
= f'(0)
所以并不用 f(x)=0 只需使f(0)=0即可.
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