请问圆周率pi为什么是无理数,请用严密的数学理论来推导.
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1个回答

如圆周率、2的平方根等.

有理数是所有的分数,整数,它们都可以化成有限小数,或无限循环小数.如1/3等.

你所说的圆周率是无理数,化成的是无限不循环小数.

至于原因:需要如下证明:(不知道你现在是几年级能否看懂下面证明?看不懂就按上面理解吧)

假设∏是有理数,则Pi=a/b,(a,b为自然数)

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0

0

0

以上两式相乘得:

0

当n充分大时,在[0,Pi]区间上的积分有

0又令:F(x)=f(x)-f(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)

由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(Pi)也都是整数.

又因为d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F(x)sinx+F(x)sinx=f(x)sinx所以有:∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此处上限为Pi,下限为0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0,Pi]区间上的积分为整数,这与(1)式矛盾.

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