经过抛物线y^2=2px(p>0)的顶点O任何两条互相垂直的线段OA和OB,以直线OA的斜率k为参数,求线段AB的中点M

经过抛物线y^2=2px(p>0)的顶点O任何两条互相垂直的线段OA和OB,以直线OA的斜率k为参数,求线段AB的中点M的轨迹的参数方程.

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设OA方程为 y=kx,代入抛物线方程得 （kx）^2=2px,解得A（2p/k^2,2p/k）,

以 -1/k代替上式中的k,可得 B（2pk^2,-2pk）

所以,AB中点M的坐标为

x=p(1/k^2+k^2)

y=p(1/k-k)

消去k,可得M的轨迹方程 x/p-(y/p)^2=2

即 y^2=p(x-2p).

抛物线的参数方程

x=2p*t^2

y=2p*t

设A(2p*m^2,2p*m)设B(2p*n^2,2p*n)

因为向量A*向量B=0

即（2p*m^2）*（2p*n^2）+（2p*m）（2p*n）=0

得：m=-1/n

A(2p*m^2,2p*m)设B(2p/m^2,-2p/m)

因为M为A,B中点,

所以M 轨迹de方程为 ：

x=2p(m^2+1/m^2)

y=2p(m-1/m)

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