数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征：确定性 ,互异性 ,无序性 .
集合元素的互异性：如：,,求 ；
（2）集合与元素的关系用符号 ,表示.
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 .
（4）集合的表示法：列举法 ,描述法 ,韦恩图 .
注意：区分集合中元素的形式：如：； ； ； ； ；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合.（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
注意：条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况.
如：,如果 ,求 的取值.
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 .
（2） ； ；
（3）对于任意集合 ,则：
① ； ； ；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若 为偶数,则 ；若 为奇数,则 ；
②若 被3除余0,则 ；若 被3除余1,则 ；若 被3除余2,则 ；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合 中有 个元素,则集合 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 .
（2） 中元素的个数的计算公式为：；
（3）韦恩图的运用：
四、 满足条件 ,满足条件 ,
若 ；则 是 的充分非必要条件 ；
若 ；则 是 的必要非充分条件 ；
若 ；则 是 的充要条件 ；
若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；
五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 ；
注意：“若 ,则 ”在解题中的运用,
如：“ ”是“ ”的 条件.
六、反证法：当证明“若 ,则 ”感到困难时,改证它的等价命题“若 则 ”成立,
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确.
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题.
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个
否定
正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个
否定
二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：
如：若 ,；问：到 的映射有 个,到 的映射有 个； 到 的函数有 个,若 ,则 到 的一一映射有 个.
函数 的图象与直线 交点的个数为 个.
二、函数的三要素：,,.
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
① ,则 ； ② 则 ；
③ ,则 ； ④如：,则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数 的定义域是 ,求 的定义域.
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后；必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为20,半径为 ,扇形面积为 ,则 ；定义域为 .
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围；常用来解,型如：；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：,利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.
⑧数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.
求下列函数的值域：① （2种方法）；
② （2种方法）；③ （2种方法）；
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言.
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法.
应用：比较大小,证明不等式,解不等式.
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系.f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数.
判别方法：定义法,图像法 ,复合函数法
应用：把函数值进行转化求解.
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期.
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式.
