若函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为-1，有以下命题：
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解题思路：首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题（1），（3）得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题（2）得出判断．
函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
3+2a+b＝−1
3−2a+b＝−1，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
（1）可见f（x）=x3-4x，因此（1）正确；
（2）令f′（x）=0，得x=±
2
3
3．因此（2）不正确；
所以f（x）在[-
2
3
3，
2
3
3]内递减，
（3）f（x）的极大值为f（-
2
3
3）=
16
3
9，极小值为f（
2
3
3）=-
16
3
9，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=
16
3
9，最小值为m=-
16
3
9，则M+m=0，因此（3）正确．
故选B．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．
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