已知函数f（x）=[1/2]x2+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数．
1个回答
解题思路：（1）求导函数，根据函数f（x）=[1/2]x2+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数，可得
x+
1
x
+a−4
≥0在（1，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，即可确定实数a的取值范围；
（2）设t=ex，则g（t）=t2-2a+a=（t-a）2+a-a2，1≤t≤3，再分类讨论：①2≤a≤3；②a≥3，即可得到结论．
（1）求导函数，可得f′(x)＝x+
1
x+a−4
∵函数f（x）=[1/2]x2+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数
∴x+
1
x+a−4≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≥4−(x+
1
x)恒成立
∵x+
1
x≥2（当且仅当x=1时，等号成立）
∴4−(x+
1
x)＜2
∴a≥2
（2）设t=ex，则g（t）=t2-2a+a=（t-a）2+a-a2，
∵x∈[0，ln3]，∴1≤t≤3
①当2≤a≤3时，g（t）最小值为a-a2；
②当a≥3时，g（t）最小值为9-5a．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查二次函数最值的研究，分离参数，利用配方法求二次函数的最值时关键．
相关问题
