函数知识与代数、几何等其它知识联系密切,一些综合题
要涉及到代数中的方程,不等式等内容以及几何中有关图形的知
识,解决这类问题是本单元的重点和难点,也是近年来各省市
中考试题中考查的重点.
解决综合问题,首先要有全面、扎实的知识基础,另外要
掌握分析问题的方法,认真审题,运用数学思想方法,深入发
掘已知与未知及所涉及知识点之间的内在联系.尤其要认真观
察图形,探索图形中蕴含的数量关系,实现知识间的相互转化,
化繁为简,化难为易.
例1.已知：如图(1),矩形EFGH内接于△ABC,两个顶点E、
F在BC边上,顶点H、G分别在AB、AC边上.
(1)设底边BC=12厘米,高为h厘米,GF为x厘米,GH为y厘米,
求y关于x的函数关系式；
(2)在(1)的条件下,当高h=8厘米时,要使矩形EFGH的GH边
大于4厘米,求GH的取值范围；
(3)在(1)、(2)的条件下,要使矩形EFGH的面积为18厘米2,
此时矩形EFGH的长和宽各是多少?
分析：自变量x表示GF的长,高h要看成是常量.列函数关
系式时,可用相似三角形性质解决.
(1)作AD⊥BC,D为垂足,与HG交于M.
∵GH‖BC,
∴△AHG∽△ABC,
∴.
∵ AM=AD-MD=h-GF=h-x,BC=12,
AD=h,HG=y,
∴y=
即y=-x+12(0＜x＜h)；
(2)当h=8厘米时,要使y=-x+12＞4,
解得x＜,
∴GF的取值范围是0＜GF＜(厘米)；
(3)S矩形EFGH=GH*GF=x(12-x).
当S=18厘米2时,有
x(12-x)=18.
解得x1=2,x2=6.
此时y1=9,y2=3.
∴当矩形EFGH的面积为18厘米时,长为9厘米,宽为2厘米
或长为6厘米,宽为3厘米.
例2.在直角坐标系中,一次函数y=x+的图象与x轴、y
轴分别交于A和B两点,点C的坐标为(1,0),点D在x轴上,且
∠BCD和∠ABD是两个相等的钝角,求图象经过B、D两点的一次
函数的解析式.
分析：本题的关键是要求得B、D两点的坐标,因为B、D都是
坐标轴上的点,故只需求得OB和OD两线段的长,这就需要结合
图形利用勾股定理和相似三角形等几何知识来解决.首先在坐
标系中找出A、B、C的位置,然后根据∠BCD与∠ABD是两个相
等的钝角,找到点P的大致位置,即要求CD的长,由已知可推
出△BCD∽△ABD,故有BD2=CD*(4+CD),又因为BD2=BO2+OD2,
而BO和OC已知,就可求出CD的长.
如图(2),由已知得点A(-3,0),
点B(0,),点C(1,0).
∴AC=4.
在△BCD和△ABD中,
∵∠BCD=∠ABD,
∠BDC为公共角,
∴△BCD∽△ABD,
∴.
∴BD2=CD*AD.
在Rt△BOD中,BD2=OB2+OD2.
∴OB2+OD2=CD*AD.
即()2+(1+CD)2=CD(4+CD).
解得CD=.
∴点D的坐标为(,0).
又∵点B坐标为(0,),设经过B、D两点的一次函数的解析
式为y=kx+b,
∴
解得k=-.
∴经过B、D两点的一次函数的解析式为y=-x+.
说明：准确画图对于题意的理解.思路的探求,方法的选
择.结论的判定都有重要作用,同时也体现了一定的教学能力.
例3.正比例函数y=kx与直线y=- x- 相交于点P(m,n),
且关于x的方程x2+mx+n=0的两根为直角三角形两锐角的余弦值,
求此正比例函数的解析式.
分析：求出m,n的值,确定点P的坐标的是本题的关键.
这可以从①m,n作为P点坐标,要满足y=- x- ；②m,n应
满足方程根与系数的关系,这两个方面入手解决.
设直角三角形分别为A,B,
根据题意,有
∵cosB=sinA,
∴sinA+cosA=-m,① sinA*cosA=n.②
①2,得
sin2A+2sinAcosA+cos2A=m2,
∴1+2n=m2,③
∵点P(m,n)在直线y=- x- 上,
∴- m- =n ④
把④代入③,整理得
m2+m- =0
解得
∵cosA+cosB＞0,
∴m＜0,故m2,n2不合题意,应舍去.
把m1,n1代入y=kx,得
=k*,
解得k=.
∴所求正比例函数的解析式为y=x.
注意：在求m,n的值时,应注意题中的隐含条件,由A、B都
是锐角,故cosA+cosB＞0,从而决定m＜0,所以本题只有一解.
练习：
1.已知一次函数的图象交x轴于A(-6,0),交正比例函数
图象于B,且点B在第二象限,它的横坐标为-4,△AOB的面积
为15(平方单位),求正比例函数和一次函数的解析式.
2.正比例函数与一次函数的图象
如图(3),其中交点坐标为A(4,3),
B为一次函数与y轴交点,且｜OA｜=2｜OB｜.
(1)求正比例函数与一次函数解析式；
(2)求△AOB的面积.
