用尺规作图三等分任意角是不可能的,已经被证明.
我相信楼主所谓的做出来并不是严格的尺规作图.
尺规作图三等分任意角不可能.
证明大意是:
1)几何问题代数化.三等分角就相当于在单位圆上求做一定长度的线段,利用三角函数,把线段长度表示出来.事实上,如zyyywzs所引,可以得到
cos(3θ) = 4 cos³θ - 3 cosθ
其中已知cos(3θ),从而就相当于用解三次方程(用尺规做出三次方程的实根)
4 x^3 - 3 x - a = 0
2)证明上述三次方程的实根不在有理数域Q的二次扩域内.
3)证明给定单位1,尺规作图能且只能解一次或二次方程,即只能做出Q的二次扩域内的元素.事实上,尺规作图只能作圆(二次方程)和直线(一次方程)的交点,从而解都在Q的二次扩域上.
可参考任何抽象代数的书籍.
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