已知函数f（x）=a•2x+a−22x+1(x∈R)，若f（x）满足f（-x）=-f（x）．
1个回答
解题思路：（1）利用f（0）=0．求出实数a的值，得出
f(x)＝
2
x
−1
2
x
+1
，
（2）直接利用函数单调性的证明步骤进行证明
（3）采用分子变常数法得出
f(x)＝
2
x
−1
2
x
+1
=
1−
2
2
x
+1
，再利用反比例函数性质求解．
（1）函数f（x）的定义域为R，又f（x）满足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．所以[2a−2/2]=0，解得a=1，…（3分）
此时，f(x)＝
2x−1
2x+1，经检验f（x），满足题意，故a=1 …（4分）
（2）设x1＜x2，
则f(x2)−f(x1)＝
2x2−1
1+2x2−
2x1−1
1+2x1＝
2(2x2−2x1)
(1+2x1)(1+2x2)
∵x1＜x2，
∴0＜2x1＜2x2，
∴2x2−2x1＞0，(1+2x1)(1+2x2)＞0
∴f（ x2）-f（ x1）＞0
f（ x2）＞f（ x1）
所以f（x）在定义域R上为增函数．…（8分）
（3）f(x)＝
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1，…（11分）
因为2x+1＞1，，所以0＜
2
2x+1＜2即f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查函数解析式求解、函数的奇偶性、单调性的判定．考查转化、计算、论证能力．
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